线性代数
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线性代数
孙老师线性代数课程复习
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线性代数定理
矩阵秩相关：
矩阵$A_{m\times n}$的秩为r的充要条件：存在一个r阶子式不为0，r+1阶子式均为0
1. $r(A+b)\leq r(A)+r(B)$
2. $r(AB)\leq min{r(A),r(B)}$
线性方程组：
$Ax = b\Leftrightarrow$系数矩阵与增广矩阵有相同的秩
基变化，过度矩阵：
$Z={z_1,z_2,…,z_n}$和$W={w_1,w_2,…,w_n}$为两组基，则
$W=ZP$，则称P是Z到W的过渡矩阵
总结：$B=AP$，P为A到B的过渡矩阵，坐标变换为$y = P^{-1}x$，其中x为旧坐标（A中的坐标），y为B中的新坐标
线性变换的矩阵表示：
线性变化$L(V\rightarrow W)$，Z是V的一组基，$L(z_i) = \sum\limits_{j = 1}^n a_{ji}z_i$
$(L(z_1),L(z_2),…,L(z_3))=(z_1,z_2,…,z_n)A$
则A是线性变换L在基Z下的矩阵
相似矩阵：
$A\sim B\Leftrightarrow \exists X,X可逆m=,s.t. \quad B=X^{-1}AX$,可逆是一个等价关系
线性变化L在不同基之下的矩阵是相似的:如何证明？
特征值与特征向量：
线性变换的的特征值与特征向量$L\xi =\lambda\xi$
矩阵的特征值与特征向量：
$A\xi=\lambda \xi$
$det(\lambda I_n-A) = 0 \Leftrightarrow (\lambda I_n-A)\xi = 0$
性质：
相似矩阵有相同的特征值 不同特征值的特征向量一定线性无关 方阵$A_{nn}$可对角化$\Leftrightarrow $n个线性无关的特征向量 若n阶方阵有n个不同的特征值，则此方阵可对角化 相似矩阵有相同的迹。 A的特征值$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$,则A的迹$trace(A) = \sum_\limits{i = 1}^na_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i$
欧氏空间：
考虑实空间，复空间再加上共轭：
定义了 内积，模长，角度，内积的计算具有线性
欧式空间需要满足条件 \[(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)\\ (k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta),k\in R\\ (\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)\\ (\alpha,\alpha)\geq 0\Leftrightarrow \alpha = \vec{0},(\alpha,\alpha) = 0\]
$|x|\geq 0;\quad ||\lambda x||=||\lambda||\cdot||X||$
$||x\pm y||\leq ||x||+||y||$
柯西不等式:(柯西-布涅柯夫斯基不等式) \[|(x,y)|\leq \|\|x\|\|\cdot \|\|y\|\|\]
等号成立当且仅当x与y线性相关。
即 \[(\alpha,\beta)\leq(\alpha,\alpha)\cdot(\beta,\beta)\]
欧式空间不同基的度量矩阵是合同的。
欧氏空间内积在基${\eta_1,\eta_2,…,\eta_n}$下的的度量矩阵表示： \[(\alpha,\beta) =X^TAY\]
其中A是基${\eta_1,\eta_2,…,\eta_n}$度量矩阵，X和Y分别是是$\alpha,\beta$在这一组基之下的坐标。
线性空间：
线性子空间：满足数乘运算和加法运算的封闭。
度量矩阵：
$(a_{ij}){n\times n}=(<z_i,z_j>){n\times n}$是一个正定对称矩阵，称为$(V,<,>)$为基$(z_1,z_2,…,z_n)$之下的度量矩阵。
合同：A，B两个n阶方阵，若存在可逆阵C，s.t. $B=C^TAC$
正交化方法：
投影：
向量$\vec{\alpha}$在平面${\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},…,\vec{\eta_n}}$的投影,其中$\vec{\eta_i}$是一组标准正交基。 \[(\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}) \left ( \begin{matrix} \vec{\eta_1}\\ \vec{\eta_2}\\ \vdots\\ \vec{\eta_n} \end{matrix} \right )\vec{x} =\vec{B_m}\vec{B_m}^T\vec{x}\]
正交矩阵
$AA^T=I_n$
正交矩阵的实特征根只能是1或-1
正交变换
保内积，保范数，保距离
欧式空间上的线性变换$<Ux,Uy> = <x,y>$
$||Ux||=||x||$
若${\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},…,\vec{\eta_n}}$是一组标准正交基，则${U\vec{\eta_1},U\vec{\eta_2},…,U\vec{\eta_n}}$也是一组标准正交基。
实对称阵的对角化
实对称阵即相似又合同于某对角阵
$U^TAU = diag[\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n]$,对n阶对称阵A，存在正交阵U，s.t.其中$\lambda_i,i = 1,2,..,n$是A的特征值
性质：
实对称阵的特征值是实数
实对称阵不同的特征值的特征向量正交，实对称线性变换的特征子空间是正交的。
二次型
标准型：没有交叉项
规范型：标准型且系数为0或$\pm 1$
正惯性指数：A的正特征值的个数
正定： \[x^TAx\geq 0,x^TAx = 0\Leftrightarrow x = 0\\ \begin{align} \Leftrightarrow & 正惯性指数等于维数\\ \Leftrightarrow & A的特征值都>0\\ \Leftrightarrow & A的任意阶主子式都大于0 \end{align}\]
求规范法：
配方法：注意配方法中的线性变换要求非退化。
合同变换法：每一次行变换要有相应的列变换。
正交变换法：求特征值特征向量然后求标准正交化。