常微分方程
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ODE
孙老师ODE课程复习
- ODE - 一阶齐次与非齐次方程 - Bernoulli 方程 - Riccati 方程 - 欧拉方程 - 二阶线性方程 - 零化子： - 常数变易法 - 一般理论： - Liouville 定理 - 一阶线性方程组 - 线性微分方程的一般理论
- ODE常用技巧
- 一阶线性微分方程的初等解法
- 恰当方程与积分因子
- 一阶隐式微分方程与参数表示：
- 高阶线性非齐次方程：
- 克莱罗方程：
- 高阶方程
ODE
一阶齐次与非齐次方程
\[\dfrac{dy}{dx}+a(x)y=0\\ y = e^{-\int a(x)dx}\] \[\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)\\ y = e^{-\int p(x)dx}(c+\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx)\]两边同时乘以$e^{\int p(x)dx}$
Bernoulli 方程
\[\dfrac{dy}{dx}+p(x)y = q(x)y^{\alpha},\alpha\neq 0,1\\ y^{-\alpha}\dfrac{dy}{dx}+p(x)y^{1-\alpha}=q(x)\\ z(x)=y(x)^{1-\alpha}\\ z^{'}+(1-\alpha)pz=(1-\alpha)q(x)\]Riccati 方程
\[y^{'}+p(x)y+q(x)y^2=f(x)\\\]假设$y_1(x)$是方程的一个特解，则$z(x)=y(x)-y_1(x),z^{‘}=y^{‘}(x)-y_1^{‘}(x)$ \[z^{'}+y^{'}+p(x)(y_1+z)+q(x)(y_1+z)^2=f(x)\\ z^{'}+p(x)z+q(x)(z^2+2y_1z)=0\\ z^{'}+(p+2qy_1)z+qz^2 = 0\]
得到的是Bernoulli方程
欧拉方程
形如 \[a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1xy^{(1)}+a_0y=f(x)\]
其中$a_i,i=0,1,2,…,n$为常数
经过自变量变换$x=e^t,D=\dfrac{d}{dt},\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}Dy,\dfrac{d^ky}{dx^k}=\dfrac{1}{x^k}D(D-1)\cdots (D-k)y$ \[a_nD(D-1)\cdots (D-n)y+\cdots+a_1Dy+a_0y=f(e^t)\]
二阶线性方程
二阶常系数齐次方程：求其特征方程
二阶线性方程：先求二阶线性其次方程的通解$c_1y_1+c_2y_2$，再求非齐次方程的一个特解$y^{}$，则通解为$y^{}+c_1y_1+c_2y_2$
零化子：
注意：升阶后还需要降阶，即带入原方程。可变参数与原方程的结束相同。
多项式：$x^{k},D^k$
指数函数：$e^{\lambda x},D-\lambda$
$x^ke^{\lambda x},(D-\lambda)^{k+1}$
三角函数：$(D^2+b^2)cosbx$
$(D^2+b^2)sinbx$
$(D^2+b^2)^{k+1}x^ksinbx$
$(D^2-2aD+a^2+b^2)e^{ax}cosbx$
常数变易法
例如： $y^{‘’}+ay^{‘}+by=f(x)$，（a,b为常数）可以先计算出其次方程的通解，然后使用常数变易法求解出特解。
定理：假设$y^{‘’}+p(x)y^{‘}+q(x)y=0$有一基础解系，$y_1(x),y_2(x)$满足$w(x)\neq 0$,则非齐次方程$y^{‘’}+p(x)y^{‘}+q(x)y=f(x)$的一个特解为 \[y_{*}(x)=-y_1(x)\int_{x_0}^x\dfrac{f(t)y_2(t)}{w(t)}dt+y_2(x)\int_{x_0}^{x}\dfrac{f(t)y(t)}{w(t)}dt\]
一般理论：
（仅对于二阶） \[y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y = 0,\qquad \phi=\{方程的解\}\\ Then \quad \forall y_1,y_2\in \phi,\forall c_1,c_2\in R,c_1y_1+c_2y_2\in \phi\] \[if \quad y_1(x),y_2(x)是方程y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y = 0的一个基础解系，\\则对任意一个解:y\in \phi,存在c_1,c_2,s.t.\quad y(x) = c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\]
Wronski行列式，对于方程的解，一点线性无关，点点线性无关
对于一阶线性齐次方程组，同样可以有类似的结论：齐次方程组存在几个线性无关的解，$\vec{y_1(x)},\vec{y_2(x)},\cdots,\vec{y_n(x)}$，使得任意一组解都可以用其表示。
Liouville 定理
(特殊情况下的)
设$y_1,y_2$是齐次方程$y^{‘’}+p(x)y^{‘}+q(x)y = 0$的两个解 \[w(x) = \left \| \begin{matrix} y_1(x) & y_2(x)\\ y_1^{'}(x) &y_2^{'}(x) \end{matrix} \right \| =w(x_0)e^{-\int_{x_0}^xp(t)dt}\]
通过对$w(x)$求导$\dfrac{dw}{dx}=-pw(x)$
证明可以由对$w(x)$求导得到。
对于高阶线性方程Wronski行列式是特殊情况，对于一阶线性方程组为一般情况。
对于一组向量值函数$\vec{y_1(x)},\vec{y_2(x)},\cdots,\vec{y_n(x)}$,称$det(\vec{y_1(x)},\vec{y_2(x)},\cdots,\vec{y_n(x)})$为$\vec{y_1(x)},\vec{y_2(x)},\cdots,\vec{y_n(x)}$的Wrongski行列式
仍然满足（对于方程的解）一点线性无关，点点线性无关。
$\vec{y_1(x)},\vec{y_2(x)},\cdots,\vec{y_n(x)}$线性相关当且仅当$W(x)\equiv 0$
对于线性齐次方程组 \[W(x)=w(x_0)e^{-\int_{x_0}^xTrace(A(t))dt}\\ W(x)=det(\vec{y_1(x)},\vec{y_2(x)},\cdots,\vec{y_n(x)})\]
一阶线性方程组
一阶其次常系数
解法：高斯消元
特征值：对于一阶其次常系数方程组，特征方程$|\lambda I_n-A| = 0$,
若A可以对角化，则A有n个线性无关的特征向量 \[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},\cdots,\vec{\xi_n}\\ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\\ 方程通解为\\ \vec{y}=c_1\vec{\xi_1}e^{\lambda_1x}+c_2\vec{\xi_2}e^{\lambda_2x}+\cdots+c_n\vec{\xi_n}e^{\lambda_nx}\]
特解由初值确定
对于不能对角化的，高斯消元法
对于一阶非齐次 \[\dfrac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}+\vec{f(x)}\]
先求一阶非齐次的解： \[c_1\vec{y_1}(x)+c_2\vec{y_2}(x)+\cdots+c_n\vec{y_n}(x)=Y(x)\vec{C}\]
带入可得 \[y_{*}=Y(x)(\vec{C}+\int Y^{-1}(x)\vec{f(x)}dx\]
线性微分方程的一般理论
\[\dfrac{d\vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}+\vec{f(x)}\]见前面一般理论
性质有：
$\sum\limits_{i = 1}^nc_i\vec{y_i(x)}$是解，且任一形式都是如上形式
解矩阵$Y(x)=(\vec{y_1(x)},\vec{y_2(x)},\cdots,\vec{y_n(x)})$是基解矩阵$\Leftrightarrow W(x)\neq 0$
$Y(x),Z(x)$是两个基解矩阵，则存在可逆阵P，$s.t.\quad Z(x)=Y(x)P$
高阶线性方程可以改写为一阶线性方程组
ODE常用技巧
一阶线性微分方程的初等解法
恰当方程与积分因子
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$方程为恰当方程$M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)$的充要条件为$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$ \[u=\int M(x,y)\partial x+\int[N(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)\partial x]dy\]
一阶隐式微分方程与参数表示：
\[F(x,y,y^{'}) = 0\]高阶线性非齐次方程：
已知基础解系，常数变易法即可求出特解
已知几个特解：特解相减判断线性无关即可求出基础解系
克莱罗方程：
\[y=xp+f(p),p=\dfrac{dy}{dx}\]其解为直线簇，通过令p=c带入方程可得通解
高阶方程
欧拉方程
观察是否缺x或y，如果有，进行变量替换
观察$y,y^{‘}$是否齐次，齐次可以采用$y^{‘}=yz$进行替换